箱の中に、１〜９までの番号を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から２枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をＸとする。これらのカードを箱に戻して、再び２枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をＹとする。Ｘ＝Ｙである確率を求めよ。



　　
　この問題は、２０１１年京都大学入学試験数学で文系理系共に出題された問題です。私は自分の学力を維持するためと、大学の出題傾向が中学・高校の教育や入試にも影響を与えていると考えることから、センター試験と東大と京大の入試くらいには目を通すようにしています。
　その中で、京大の問題の中に、中学程度の知識で解けるものがありましたので紹介します。
　　確率とは、

　
　　　　　　を求めることです。
　　　　
　しかしこれには、「起こりうる全ての場合が同様に確からしいとき」という重要フレーズがつきます。ややこしい言い回しですが、難しく考えなくても大丈夫です。たとえば、サイコロならばどの目がでるのも同じ確率、カードならどれを引くのも同じ確率ということです。

　逆に、競馬なら、どの馬の勝つ確率も同じとは言えませんね。１０頭で競争して、ある馬が勝つ確率は1/10・・ではないですよね。馬には能力差がありますから。だから「起こりうる・・」とは言えず、確率の問題の題材にはなりません。

　本問では当然ですが、箱に入っているのだから外から見えないという設定です。カードが丸見えの箱だったら、どのカードも同じ確率で選ぶなんて言えませんね笑。入試問題は普通に読んでください。どの組合せも同じ確率で選ぶと考えましょう。（こんなことを考えるのは私だけなのかもしれませんが。）

　さて本問で「モレなくダブりなく」分けるのは、Ｘ＝Ｙの値です。ＸもＹも１〜８ですから、「Ｘ＝Ｙ」となるのは、「�@Ｘ＝Ｙ＝１または�AＸ＝Ｙ＝２または・・・�GＸ＝Ｙ＝８」ですね。そして�@〜�Gはダブっていないので、「�@の確率＋�Aの確率＋・・・＋�Gの確率」を計算すれば、「Ｘ＝Ｙ」となる確率が求まります。
　
　では、�@「Ｘ＝Ｙ＝１」となる確率を求めてみましょう。これは、「Ｘ＝１かつＹ＝１」ということですから、(Ｘ＝１となる確率) × (Ｙ＝１となる確率)　で、�@の確率が求まります。
　　　　
　　そこで（Ｘ＝１となる確率）を求めましょう。

　まず、９枚のカードから２枚のカードを同時に選ぶときの全ての組合せ(分母)です。
　　１枚ずつ２枚取り出して並べる並べ方は、
　　　　９通り(１枚目)×８通り(残りから選ぶ２枚目)＝７２通り。

　しかし、３→６と取り出しても、６→３と取り出しても、組合せは同じになりますから、７２通りだと２倍数えてしまっています。よって７２÷２＝３６通りが、全ての組合せ(分母)になります。（高校数学を学んだ人ならと一瞬で出すと思います。）

　次に、この３６通りの中に、Ｘ＝１となるのは何通りあるのでしょうか(分子)。
　２枚の中に「１」が含まれていれば、必ずＸ＝１となります。
だから、(１・２)、(１・３)、(１・４)、(１・５)、(１・６)、(１・７)、(１・８)、(１・９)の８通りが、Ｘ＝１となる場合です。

　　以上より、8/36が「Ｘ＝１」となる確率です。　
　　また、Ｙも全く同様なので、「Ｙ＝１」となる確率も8/36です。
　　ゆえに、�@「Ｘ＝１かつＹ＝１」となる確率は、 となります。


　　同様の考え方を繰り返して、
　�A「Ｘ＝２かつＹ＝２」となる確率は、�Bは・・・、�Gはとなります。（ご自身でやってみてください。）
　　　　
　　ここから、求める確率は、　となります。

　（高校数学を学んだ人なら、↑の計算で　を使うでしょうが、知らなければ、がんばって計算するしかありません。）　


　京大入試であっても、取り組めると感じた小・中学生もいるのではないでしょうか。
　京大にしては易しい問題なので、解けたからといって合格するとは言えませんが、できる問題もあると知ってもらえれば嬉しいです。ではまた。