１段を「振り出し」とし、１０段に進むと上がりとなる図のような「すごろく盤」がある。最初にコマを「振り出し」に置き、毎回１～６の目を持つ１個のサイコロを振って、出た目が偶数の時は、その目の数だけコマを一段ずつ進め、出た目が奇数の時は、その目の数だけコマを一段ずつ戻す。
ただし、第１回目に奇数の目が出たり、第２回目以降で０に戻ったときは、「振り出し」にとどまり、コマが１０段に進んだときは、その時点で「上がり」となって終了する。
なお、「目の出方」を数えるときには順序を考えに入れる。たとえば、目が２、３、１の順に出た場合と２、１、３の順に出た場合とでは、異なる「目の出方」とする。
問１ 第３回目に「上がり」になるような目の出方は何通りあるか。
問２ 第４回目に「上がり」になるような目の出方のうち、第１、２回目とも奇数が出る
のは何通りあるか。
この問題は、大学入試センターが作成した平成20年度法科大学院適性試験第5問です。
ロースクールの入試問題なので、問題文が長めでくどい表現になっていますが、単なる場合の数の問題です。問題文は理解できたでしょうか。
さて、このような繰り返し何かを行って、「最後の回にある事象となる」という問題でポイントとなることは、『第３回目（最後の回）に「上がる」』とはどういうことかを考えることです。そして、直前の「第２回目終了時にどういう状況になっているか」に着目できるかが決定的に重要です。
3回目に上がるためには、2回目までに上がってはいけませんし、次に絶対に上がれないところにコマがあってもだめなのです。2回目の状況が決まれば、おのずと3回目にどうすれば上がれるかは導けます。だから、この2回目終了時が勝負。そしてここを「モレなくダブりなく」場合分けするのです。
では具体的にみていきましょう。
問１
3回目で上がるためには、一回では２か４か６段しか進めないのですから、2回目終了時に、4～９段にいなければなりません。３段以下だと6が出てもゴールできませんので。
そして４～9段の中でも、①４・５段、②６・７段、③８・９段で場合分けが必要です。ここが「モレダブり」に分けるポイントです。①４・５段だと3回目は６でしか上がれません。同様に、②６・７段からは４か６で、③８・９段からは２か４か６で上がりになります。
では、２回目終了時にコマがどこにあるかをまとめましょう。
サイコロを2回振るときはこの表ですね。
この表は、1回目のサイコロの目を左に、2回目を上にとったときに、2回目終了時に何段目にいるのかを示した表です。①４・５段には5通り、②６・７段には5通り、③８・９段には３通りになることがこの表から分かります。なお、2回目終了時で10段以上は題意より「上がり」となり3回目はありません。
では、それぞれに3回目で１０以上となる場合の数を掛けていきます。
①４・５段：５×１（3回目は６のみ）＝５
②６・７段：５×２（3回目は４か６）＝１０
③８・９段：３×３（３回目は２か４か６）＝９
そして、①、②、③にダブりはありませんから、５＋１０＋９＝２４（通り）となります。
問２
問題文で「第４回目」と見た瞬間はめんどくさいと思いませんでしたか？だって、3回目まで考えると６×６×６＝２１６（通り）もあるのですから。しかし、そこはうまくできていて「第１、２回目とも奇数」と限定をつけてくれています。
つまり、2回目までは、3（１か３か５）×３（１か３か５）＝９（通り）のみであり、2回目終了時には、コマは「振り出し0段」にあることになります。
ここから、第３、４回と「あと２回」サイコロを振るのですから、上の表がこのまま利用できますよね。この表から第３、４回の2回で１０段以上進むのは３通りと分かります。
よって、求める場合の数は、９(１・２回目)×３（３・４回目）＝２７（通り）となります。
場合の数も、やはりどこを攻めるか(着眼点)を決定し、そこをいかにモレなくダブりなく分けるかが重要でしたね。ではまた。
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